定积分的计算：先代入上限还是下限？
在计算定积分时，我们通常先代入上限b，再代入下限a。这种顺序有助于确保计算的准确性。
计算定积分时，确定上限(b)和下限(a)是关键。先代入上限b，能够帮助我们简化计算，并减少错误的可能性。我们将积分的变量替换为上限值，完成这一部分的计算后，再代入下限a进行后续的计算。采用这种先上限后下限的方式，有助于保证最终结果的正确性。
定积分的上下限问题
定积分的计算过程是：先计算上限的积分值，然后减去下限的积分值。
如何求积分的上下限？
对于积分 ∫sec x dx = ln|sec x + tan x| + C，其中C为常数。
通过分步计算，可以得到以下结果：
左边=∫dx/cosx=∫cosxdx/(cosx)^2。
=∫d(sinx)/[1-(sinx)^2]。
令t=sinx。
=∫dt/(1-t^2) = (1/2)∫dt/(1+t)+(1/2)∫dt/(1-t)。
=(1/2)∫d(1+t)/(1+t)-(1/2)∫d(1-t)/(1-t)。
=(1/2)ln|1+t|-(1/2)ln|1-t|+C。
=(1/2)ln|(1+sinx)/(1-sinx)|+C。
=(1/2)ln|(1+sinx)^2/(cosx)^2|+C。
=ln|(1+sinx)/cosx|+C。
=ln|1/cosx + sinx/cosx| + C。
=ln|sec x + tan x| + C。
不定积分的常见公式
- ∫adx = ax + C，a和C为常数
- ∫x^a dx = [x^(a+1)]/(a+1) + C (其中a≠-1)
- ∫(1/x)dx = ln|x| + C
- ∫a^x dx = (1/lna)a^x + C (其中a>0且a≠1)
- ∫e^x dx = e^x + C
- ∫cos x dx = sin x + C
- ∫sin x dx = -cos x + C
- ∫cot x dx = ln|sin x| + C = -ln|csc x| + C
定积分的上下限如何求？
在求定积分时，首先求出其原函数，然后将上下限分别代入原函数，最后相减以得到结果。
当定积分的上下限为常数时，结果是一个固定常数，其导数结果为0。
如果定积分的上下限中至少一个不是常数，而是变量x（或变量x的函数），则对每一个取定的x值，定积分会得到一个对应的值，这称为积分变限函数。且变限积分的求导公式为：
在上下限为x的函数时，应使用复合函数求导公式，乘以上下限的导数。
